📐 Actividad 7.2C - Geometría
Cuadrilátero inscrito en un cuadrado
Enunciado del Problema
La figura ABCD es un cuadrado de 20 cm de lado. AE, DH, CG y BF son segmentos congruentes. Determina la longitud x sabiendo que 208 cm² es el área del cuadrilátero FEHG.
Pasos para Resolver el Problema
1 Identificar los datos conocidos
Lado del cuadrado ABCD: 20 cm
Área del cuadrilátero FEHG: 208 cm²
Segmentos congruentes: AE = DH = CG = BF = x
2 Calcular el área del cuadrado ABCD
El área del cuadrado grande se calcula con la fórmula:
3 Identificar los triángulos en las esquinas
El cuadrilátero FEHG está inscrito en el cuadrado ABCD. En cada esquina del cuadrado hay un triángulo rectángulo:
- Triángulo AEF (esquina superior izquierda)
- Triángulo DHE (esquina superior derecha)
- Triángulo CGH (esquina inferior derecha)
- Triángulo BFG (esquina inferior izquierda)
Cada triángulo tiene catetos de longitud x (por ser segmentos congruentes).
4 Calcular el área de un triángulo
Cada triángulo rectángulo tiene:
5 Calcular el área total de los 4 triángulos
Como hay 4 triángulos congruentes:
6 Establecer la ecuación
El área del cuadrilátero FEHG es igual al área del cuadrado menos el área de los 4 triángulos:
208 = 400 - 2x²
7 Resolver la ecuación
Despejamos x:
2x² = 400 - 208
2x² = 192
x² = 96
x = √96 = √(16 × 6) = 4√6 cm
O en forma decimal aproximada:
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